Во первых, если не оформлен трудовой договор, то отношения нельзя назвать официальными. Во вторых, если нет официальных отношений, то и незачем оплачивать больничный.
В данном случае либо трудовые отношения неоформлены, либо работодатель это умышленно скрывает. Вообще, ТК РФ обязывает работодателя выдавать второй энкз. трудового договора работнику на руки. Поэтому если его на руках нет, то, скорее всего, нет и в природе.
Советую либо потребывать свой энкз. трудового договора, либо обратится в Инспекцию по труду г. Новосибирска.